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第686章 无尽路途，不可达基数（十分艰涩，谨慎观看）（第2页）

因为这些世界基数的共尾数，俱都只有ω。

至于所谓的「共尾」则属于集合论当中一个重要数学概念，主要用于描述良序集无界子集以及序列的特性还有精细程度。

说白了就是诸多递增序列在只能用α以下序数时，需要至少多少项才能够抵达，所以也可用「梯度」这种词汇来指称。

而若是将伟大世界基数以下所有世界基数共尾度为ω这一概念展开来讲，即是对于所有n∈N，最小∑n正确基数之序列便是κ的下一个长度为ω之基本列，同时对于任意一个n都可用∑n+1来描述某一∑n正确基数，因此其强度皆在ZFC公理模型范畴内。

可是对于基本列整体而言并不存在某个∑m语句可以描述所有∑n，因为不存在大于所有自然数的自然数，所以κ的这一基本列在Vκ内部无法定义，于是便不能作为一个集合适用于替换公理，此基本列必须要在ZFC模型之外，即Vκ+1中才能够被定义。

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总之，在一系列世界基数不动点之上的便是伟大世界基数，可同样在伟大世界基数之上亦有无穷无尽无限无数个W函数不动点，并且这些互相间距离无比遥远的不动点，也都拥有同一个共尾数。

所以到了这一层面后，亦可以极为粗糙的将共尾数，视作为不同层次间的强度度量衡量标尺。

而距离这共尾ω的一系列所有世界基数‘最近’的更高共尾数层面，便是与??等势的ω1。

在此之上，还有与??等势的ω?、与???等势的ω??、与????等势的ω???……等等各类各样差距更是巨大到了完全没有边的共尾数。

这些具备不同共尾数的各类世界基数，亦通常会被命名为带有各种复杂前缀名或者后缀名的称呼。

并且，被这些各级各阶每一个共尾数所‘统治’的庞大‘领土’之内的那些个各级各阶世界基数互相之间，亦会存在有无穷无尽复无尽无穷恐怖到无法言说无法形容的巨大差距。

而若想要跨越这一重又一重天渊之距，则又会牵涉到所谓「无界闭集」的数学概念。

关于此概念，还有一个较为简单的名为「无界集合」的前置型概念。

对于此概念若举例说明便是，譬如位于ω范畴内的自然数在ω中无界，又因ω=N，所以N便是ω的无界非真子集。（「无界」概念的具体定义详见677章）

既然存在‘非真’，那么就肯定会存在‘真’。

譬如，对任意n∈ω仍有n+1∈ω，无存最大自然数，所以全体正偶数便是ω的真无界子集。

这个概念比较简单，但在此之上的「无界闭集」概念就要考虑的多…不是，是复杂的多了。

还是举例说明。

譬如，若c是x无界子集，对所有极限序数呈a

如果将这段话展开来讲，便可以认为对于那一系列a∈c所取的极限点，结果仍在c当中，也就是说c对于取极限点这一操作完全封闭，求取c中一系列元素的sup也仍然留存于C中。

所以，无界闭集的性质就像一把全无尽头的过滤网，可不断滤选出愈来愈极限的‘元素’，但却永远不会跑出集合范围。

总之，通过使用包括「无界闭集」在内的诸多‘工具’，沿着那贯穿一整个世界基数的漫长共尾数‘路径’，便可以直通不可达基数。

那么……不可达基数的共尾数，又会是什么呢？

答案便是……它自身。

是的，就如同神话传说当中代表着「永恒完美」「无限循环」以及「自有永有」等等至高概念的那一条用自己嘴巴咬住自己尾部类似莫比乌斯环带的衔尾之蛇一般，首个不可达基数其共尾数……赫然也是不可达基数。

首个不可达基数，即是一种在ZFC公理系统模型基础上加上相应不可达基数公理后，才能够存在的既是强极限基数又是正则基数的不可数基数。

所谓正则基数，意指的便是共尾数等同于自身的基数。

用数学语言来表达，即是cf（k）=k。

这里的cf（k），便是以k为上确界的递增序列的最小长度。

cf可以定义在所有序数上，但正则序数却必然是基数。